Laboratoire IMATH

Titre :
Bornes sur le nombre de points rationnels d’une courbe définie sur un corps fini

Résumé :
L’étude des points rationnels d’une courbe lisse est un sujet classique de géométrie algébrique qui possède de nombreuses applications en cryptographie ou en théorie des codes notamment. Nous commencerons par revenir sur les principaux résultats concernant ceux-ci, en se penchant notamment sur les formules explicites proposées par J-P Serre dans les années 80.
Nous nous intéresserons ensuite au nombre de points de degré d d’une courbe. Cette étude se justifie par le lien qui lie les points rationnels d’une courbe singulière avec ceux de sa normalisée. Nous verrons comment nous pouvons obtenir des bornes sur ce nombre de points de degré d en réutilisant les formules explicites mais également en utilisant des arguments élémentaires de calcul différentiel.