Laboratoire IMATH

Institut de Mathématiques de Toulon (EA 2134)

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Séminaire de Philippe Langevin, IMATH - Université de Toulon

Séminaire IAA
Jeudi 10/11/22, 14h00 salle M003

Invariant pour la classification des fonctions booléennes

Résumé :

La détermination du rayon de recouvrement d’un code de Reed-Muller
est une question difficile de la théorie des codes. Rappelons en
quelques mots que le code de Reed-Muller RM(k,m) d’ordre k en m
variables s’identifie aux des fonctions Booléennes de degré au plus k,
c’est un code de longueur 2^m dont la dimension et la distance minimale
sont faciles à déterminer. Le rayon de recouvrement r(k,m) de ce code
n’est pas connu en général. Au cours de ces trois dernières années,
des avancées remarquables ont été obtenue en longueur 128 avec la
détermination de r(2,7) dans [3] et celle de r(3,7) dans [2]. Un
résultat partiel vient d’être obtenu dans [1] où les auteurs montrent
que le rayon de recouvrement du RM(4,8) dans RM(5,8) est 26. Dans mon
exposé, j’expliquerai comment utiliser nos résultats de classifications
[4] dans ce contexte.

[1] Randall Dougherty, R. Daniel Mauldin, and Mark Tiefenbruck.
The covering radius of the Reed-Muller code RM(m−4,m) in RM(m−3,m).
IEEE Trans. Inform. Theory, 68(1):560– 571, 2022

[2] J. Gao, H. Kan, Y. Li, and Q. Wang.
The covering radius of the third-order reed-muller codes rm(3, 7) is
20. submitted to IEEE IT, 2023

[3] Qichun Wang.
The covering radius of the Reed-Muller code RM(2,7) is 40.
Discrete Math., 342(12):111625, 7, 2019

[4] Valérie Gillot, Philippe langevin.
Classification of some cosets of the Reed-Muller codes
http://langevin.univ-tln.fr/project/agl7/BFA-paper2022.pdf

Séminaire de Philippe Langevin, IMATH - Université de Toulon