Séminaire de Reza Pakzad (Imath)
La convexité des surfaces plongées à la courbure distributionnelle non-negative
Résumé : Pour la commodité des auditeurs, on va d’abord rappeler quelques notions de base de la géométrie différentielle en détail. On présente ensuite des résultats connus sur les plongements isométriques de régularité faible des variétés riemanniennes dans les espaces euclidiens en basse dimension, sur leurs deux versants de flexibilité (h-principe) et rigidité, dont quelques résultats récents. En particulier, on note que Borisov, et le suivant, Conti-De Lellis et Székelyhidi, ont démontré la convexité de l’image d’un tel plongement dans $\mathbb R^3$ d’une surface sans bord si sa métrique est régulière de classe $C^2,\beta$, la courbure est positive, et le plongement est de classe $C^1,\alpha$ pour $alpha>2/3$. On discute la généralisation de ce résultat au cas où la métrique est seulement de classe $C^1,\alpha$ et la courbure au sens distributionnel est seulement non-negative. Pour établir cette généralisation, une nouvelle approche moyennant l’étude de l’équation de Monge-Ampère au sens très faible devient nécessaire.
