Séminaire de Samuel AMSTUTZ (Université d’Avignon)
Optimisation topologique et partitionnement optimal avec approximation périmétrique non locale
Résumé : L’optimisation topologique traite de l’optimisation de formes dont la topologie est inconnue. Pour de tels problèmes, le périmètre peut être utilisé comme pénalisation afin de régulariser les frontières et favoriser l’existence de formes optimales, mais sa grande sensibilité aux changements topologiques le rend difficile à incorporer directement dans des algorithmes. Un remède classique est d’utiliser des versions approchées au sens de la Gamma-convergence. Après une mise en contexte, je présenterai une approximation du périmètre relatif ou total fondée sur la résolution d’un problème aux limites elliptique. Je discuterai des avantages et inconvénients de cette approche sur les fonctionnelles alternatives, en particulier je montrerai comment la formulation variationnelle du problème aux limites peut être exploitée pour mettre en oeuvre des algorithmes spécifiques. Ensuite j’expliquerai comment, à l’aide de techniques de dualité, ces résultats et méthodes peuvent être adaptés à des problèmes de partitionnement multiphase dont l’énergie à minimiser comporte une somme pondérée des mesures de Hausdorff des interfaces. Des problèmes de classification d’images et de tensions de surface seront montrés comme exemples. Si le temps le permet je parlerai d’une variante anisotrope.
