Laboratoire IMATH

Cette thèse est consacrée à la modélisation des écoulements sanguins dans les artères, notamment en se concentrant sur la dérivation de nouveaux modèles réduits unidi- mensionnels et bidimensionnels, ainsi qu’à leurs approximations numériques par des méthodes Galerkin Discontinue.
Les modèles unidimensionnels, dérivés des équations de Navier-Stokes tridimension- nelles (en coordonnées cylindriques), sont obtenus par analyse asymptotique et par moyennisation par section, sous hypothèse de petitesse du diamètre moyen par rapport à la longueur caractéristique de l’artère. Ces modèles sont efficaces dans des scénar- ios d’artères à géométrie simple (à axe moyen quasi-linéaire et à déformation radiale uniforme). Le premier modèle est un modèle hyperbolique très similaire aux modèles existants dans la littérature. Le second modèle est une extension visqueuse du modèle hyperbolique permettant de décrire un profil de vitesse d’écoulement parabolique. Pour résoudre ces équations, nous présentons une méthode numérique RKDG (Runge Kutta Discontinuous Galerkin) pour le modèle hyperbolique. Pour le modèle visqueux, nous em- ployons une méthode IIPG (Incomplete Interior Penalty Galerkin) couplée à une méthode ARK (Additive Runge Kutta) pour la discrétisation respectivement spatiale et temporelle. Bien que ces modèles numériques soient faciles à mettre en œuvre, rapide en termes de temps de calcul, le champ d’application reste limité à des géométries simples et à des déformations radiales uniformes, par exemple, les anévrismes sévères ne peuvent être correctement pris en compte.
Pour remédier à ces limitations, un modèle bidimensionnel a été développé, prenant en compte les artères curvilignes et les déformations radiales non uniforme, offrant ainsi une plus grande précision dans la modélisation des cas réels. Ce nouveau modèle est obtenu à partir des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles en coordonnées cylindriques dans un repère de Serret-Frenet. Ce modèle est obtenu par analyse asymptotique et par moyennisation par rayon, sous hypothèse de petitesse du diamètre moyen par rapport à la longueur caractéristique de l’artère. Nous développons une méthode numérique RKDG pour ce système hyperbolique.
La thèse inclut également une analyse comparative des modèles, démontrant les apports de l’approche bidimensionnelle dans des scénarios avec des dynamiques artérielles à géométrie complexe.